【題目】已知函數(shù)f (x)=x2aln x-1,函數(shù)F(x)=.

(1)如果函數(shù)f (x)的圖象上的每一點(diǎn)處的切線斜率都是正數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)當(dāng)a=2時(shí),你認(rèn)為函數(shù)y的圖象與yF(x)的圖象有多少個(gè)公共點(diǎn)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【答案】(1)(,0](2)沒(méi)有公共點(diǎn)

【解析】試題分析:(1)由函數(shù)f (x)的圖象上的每一點(diǎn)處的切線斜率都是正數(shù),得到f ′(x)=2x>0,即a<2x2在(0,+∞)上恒成立,轉(zhuǎn)為最值問(wèn)題;

(2)原問(wèn)題等價(jià)于的解的個(gè)數(shù),即x2-2ln xx+2-2=0的解的個(gè)數(shù),構(gòu)造新函數(shù),研究函數(shù)的最值即可.

試題解析:

(1)∵f (x)=x2aln x-1的定義域?yàn)?0,+∞),函數(shù)f (x)的圖象上的每一點(diǎn)處的切線斜率都是正數(shù),

f ′(x)=2x>0在(0,+∞)上恒成立.

a<2x2在(0,+∞)上恒成立,

y=2x2>0在(0,+∞)上恒成立,∴a≤0.

∴所求的a的取值范圍為(-∞,0].

(2)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)y的圖象與yF(x)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn).證明如下:

當(dāng)a=2時(shí),y,它的定義域?yàn)?/span>

{x|x>0且x≠1},F(x)的定義域?yàn)閇0,+∞).

當(dāng)x>0且x≠1時(shí),由F(x)得x2-2ln xx+2-2=0.

設(shè)h(x)=x2-2ln xx+2-2,

h′(x)=2x-1+

.

∴當(dāng)0<x<1時(shí),h′(x)<0,此時(shí),h(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時(shí),h′(x)>0,此時(shí),h(x)單調(diào)遞增.

∴當(dāng)x>0且x≠1時(shí),h(x)>h(1)=0,

h(x)=0無(wú)實(shí)數(shù)根.

∴當(dāng)a=2,x>0且x≠1時(shí), F(x)無(wú)實(shí)數(shù)根.

∴當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)y的圖象與yF(x)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn).

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