Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，2cosωx），$\overrightarrow$=（cosωx，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cosωx）（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\sqrt{3}\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$）-1，且函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的三邊為a、b、c．已知sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，若方程f（B）=k有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差公式與倍角公式可得f（x），即可得出ω與單調(diào)性．
（2）在△ABC中，由sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，可得sin²B=sinA•sinC，利用正弦定理可得b²=ac，可得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，可得$0＜B≤\frac{π}{3}$，求出f（B）=sin$（4B-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{2}$的值域即可得出．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$=$（sinωx+\sqrt{3}cosωx，0）$．
f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\sqrt{3}\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$）-1=sinωx•$（sinωx+\sqrt{3}cosωx）$+0-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx$+$\frac{1-cos2ωx}{2}$-1=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{2}$，
∵$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，∴ω=2．
∴$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
當(dāng)$2kπ-\frac{π}{2}≤4x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}≤x≤\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}\;\;（k∈Z）$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是$[\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}]$（k∈Z）．
（2）$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
在△ABC中，∵sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，
∴sin²B=sinA•sinC，∴b²=ac．
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∴$0＜B≤\frac{π}{3}$，∴$-\frac{π}{6}＜4B-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$．
∵$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$，
∴$f（B）=sin（4B-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}=k$有兩個不同的實數(shù)解時，k的取值范圍是$（-1，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式與倍角公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．