Question

（本小題滿分14分）如圖，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是邊長為的正方形，平面ABED⊥底面ABC，且，若G、F分別是EC、BD的中點，

（Ⅰ）求證：GF//底面ABC；

（Ⅱ）求證：平面EBC⊥平面ACD；

（Ⅲ）求幾何體ADEBC的體積V。

Answer 1

【解析】（I）證法一：取BE的中點H，連結(jié)HF、GH，（如圖1）

∵G、F分別是EC和BD的中點

∴HG//BC，HF//DE，……………………………2分

又∵ADEB為正方形    ∴DE//AB，從而HF//AB

∴HF//平面ABC，HG//平面ABC

∴平面HGF//平面ABC

∴GF//平面ABC……………………………………5分

證法二：取BC的中點M，AB的中點N連結(jié)GM、FN、MN（如圖2）

∵G、F分別是EC和BD的中點

圖1

∴…………………2分

又∵ADEB為正方形    ∴BE//AD，BE=AD

∴GM//NF且GM=NF

∴MNFG為平行四邊形

∴GF//MN，又，

圖2

∴GF//平面ABC……………………………………5分

（Ⅱ）∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB

又∵平面ABED⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC …………7分

∴BE⊥AC          又∵CA²+CB²=AB²

∴AC⊥BC        ∴AC⊥平面BCE

從而平面EBC⊥平面ACD……………………………………9分

（Ⅲ）連結(jié)CN，因為AC=BC，所以CN⊥AB，且

又平面ABED⊥平面ABC，

所以CN⊥平面ABED。  

∵C—ABED是四棱錐

∴V_C—ABED=……………………14分