Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

3

4

，0）對(duì)稱，且滿足f(x)=-f(x-

3

2

)，f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值是（　�。�

A．2

B．1

C．-1

D．-2

Answer 1

分析：由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（-

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，0）對(duì)稱，知f(x)=-f(-x-

3

2

)，由f(x)=-f(x-

3

2

)可得f（x）=f（x-3），從而f（x）=f（x+3），f（x）是最小正周期為3的周期函數(shù)；再由f(-x-

3

2

)=f(x+

3

2

)，可得故f（x）是偶函數(shù)，從而結(jié)合條件可求得f（1），f（2），f（3）的值．

解答：解：∵函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（-

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4

，0）對(duì)稱，
∴f(x)=-f(-x-

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2

)，①
∵f(x)=-f(x-

3

2

)，即f（x-

3

2

）=-f（x），
∴f[（x-

3

2

）-

3

2

]=-f（x-

3

2

）=f（x），即f（x-3）=f（x）=f[（x-3）+3]，
∴f（x+3）=f（x）；
∴f（x）是最小正周期為3的周期函數(shù)；
又f(-x-

3

2

)=f(x+

3

2

)，故f（x）是偶函數(shù)．
∴f（-1）=f（2）=1，f（1）=f（-1）=1，f（3）=f（0）=-2，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，又f（x）是最小正周期為3的周期函數(shù)，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
=f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性等重要性質(zhì)，函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)，注重綜合應(yīng)用，屬于中檔題．