已知函數(shù)f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0，
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若x＞0，y＞0，證明：lnx+lny≤
xy+x+y-3
2
．
（1）由b=f（1）=-1，f′（1）=a+b=0，∴a=1，
∴f（x）=lnx-x為所求；
（2）∵x＞0，f′（x）=
1
x
-1=
1-x
x
，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）變化情況如下表：
x 0＜x＜1 x=1 x＞1
f′（x） + 0 -
f（x） ↗ 極大值 ↘
∴f（x）在x=1處取得極大值-1，即所求最大值為-1；
（3）證明：由（2）得lnx≤x-1恒成立，
∴l(xiāng)nx+lny=
lnxy
2
+
lnx+lny
2
≤
xy-1
2
+
x-1+y-1
2
=
xy+x+y-3
2
成立．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時(shí)的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時(shí)，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

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