Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是棱A₁D₁的中點．
（Ⅰ）證明：C D₁∥平面B₁EDF；
（Ⅱ）求直線A₁C與DE所成的角；
（Ⅲ）求二面角B₁-ED-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）只需證明C D₁∥EF即可，而四邊形FECD₁易證為平行四邊形，則問題得證．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則點A₁、C、D、E的坐標(biāo)易于表示，進而求出、的坐標(biāo)，再得兩向量夾角，最后得直線A₁C與DE所成的角．
（Ⅲ）在（Ⅱ）建立的空間直角坐標(biāo)系中，找到平面EDC的一個法向量，且坐標(biāo)易得，再設(shè)出平面B₁EDF的一個法向量，進而利用垂直關(guān)系得到滿足要求的一個法向量，則由兩法向量的夾角可求得二面角B₁-ED-C的大�。�
解答：（Ⅰ）證明：E是BC的中點，F(xiàn)是A₁D₁的中點，連接EF，
∴有平行四邊形FECD₁，∴D₁C∥EF，
∵D₁C?平面B₁EDF，EF?平面B₁EDF，
∴CD₁∥平面B₁EDF．

（Ⅱ）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB、AD、AA₁分別為為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意：設(shè)正方體棱長為1，則D（0，1，0），E（1，，0），C（1，1，0），A₁（0，0，1）
∴，，
設(shè)直線A₁C與DE所成的角為θ，
∴==，
∴θ=．

（Ⅲ）解：由已知易知為平面EDC的一個法向量，．
設(shè)為平面B₁EDF的一個法向量，，．
，∴，∴，
∴，
令z=1，，設(shè)和成角為θ，二面角B₁-ED-C為α．
，由題可知，二面角B₁-ED-C為鈍角，
．
點評：本題考查線面平行的判定及向量法解決立體幾何的計算問題．