Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x、y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y），f（1）=-2且當(dāng)x＞0時(shí)，都有f（x）＜0．
（1）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（100）；
（2）求證：f（x）在R上單調(diào)遞減．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=0，y=0 得 f（0）=0，令x=n，y=1，則f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）-2，則數(shù)列{f（n）}是以-2為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列．再由等差數(shù)列的求和公式，即可求出所求的值；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，都有f（x）＜0，則f（x₂-x₁）＜0，再由已知條件
f（x）+f（y）=f（x+y），即可得證．

解答： （1）解：由于對(duì)任意x、y∈R，都有f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=0，y=0 得 f（0）=f（0）+f（0）即 f（0）=0，
令x=n，y=1，則f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）-2，
則數(shù)列{f（n）}是以-2為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列．
則f（n）=-2+（-2）（n-1）=-2n，
故f（0）+f（1）+f（2）+…+f（100）
=

1

2

×100×（-2-200）=-10100；
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
當(dāng)x＞0時(shí)，都有f（x）＜0，
則f（x₂-x₁）＜0，
即有f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁），
故f（x）在R上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷．考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．