Question

設函數(shù)f（x）=2^x-1的反函數(shù)為f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）求f^-1（x）及其定義域；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范圍D；
（3）設H（x）=g（x）-f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數(shù)H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．
（4）設H（x）=g（x）-

1

2

f^-1（x），當x∈D時（D為（2）中所求）時，函數(shù)H（x）的圖象與直線y=a有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用反函數(shù)的定義即可求出f^-1（x），然后根據(jù)f^-1（x）的表達式的特征即可求出其定義域．
（2）利用條件和（1）的結論可得log₂^（x+1）≤log2

3x+1

然后再結合對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得

x+1＞0 3x+1＞0 3x+1 ≥x+1

求出x即可．
（3）由條件和（1）可得H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）故要使H（x）的圖象與直線y=a有公共點需使a的取值落在函數(shù)H（x）的值域內(nèi)及問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域故可令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）然后利用導數(shù)判斷其在區(qū)間[0，1]的單調(diào)性從而可求出t的取值范圍然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域此即為a的取值范圍．
（4）由條件和（1）可得H（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）然后利用（3）的解題思路即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵y=f（x）=2^x-1
∴x=log₂^（y+1）
∴y=log₂^（x+1）
∵x+1＞0
∴x＞-1
∴函數(shù)f（x）=2^x-1的反函數(shù)為f^-1（x）=log₂^（x+1）定義域為（-1，+∞）
（2）由（1）可知f^-1（x）≤g（x）等價轉(zhuǎn)化為若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

若log₂^（x+1）≤log2

3x+1

∴

x+1＞0 3x+1＞0 3x+1 ≥x+1

∴0≤x≤1
故D=[0，1]
（3）由條件和（1）可得H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）則t^′=

1-3x

2 3x+1 (x+1)2

（0≤x≤1）
∴0≤x≤

1

3

時t=

3x+1

x+1

單調(diào)遞增，

1

3

＜x≤1時t=

3x+1

x+1

單調(diào)遞減
∴當t=

1

3

時tmax=

3 2

4

∵當x=0時t=1，x=1時t=1
∴1≤t≤

3 2

4

∴0≤log2

3x+1

x+1

≤log2

3 2

4

∴要使函數(shù)H（x）的圖象與直線y=a有公共點則有0≤a≤log2

3 2

4

（4）由條件和（1）可得H（x）=

1

2

log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）
令t=

3x+1

x+1

（0≤x≤1）則t′=

2

(x+1)2

＞0在0≤x≤1上恒成立故t=

3x+1

x+1

在0≤x≤1上單調(diào)遞增
∴1≤t≤2
∴0≤

1

2

log2

3x+1

x+1

≤

1

2

∴要使函數(shù)H（x）的圖象與直線y=a有公共點則有0≤a≤

1

2

點評：本題主要考查反函數(shù)的概念．解題的關鍵是第一問要熟記求反函數(shù)的步驟：①反解②對調(diào)x，y③標明定義域（原函數(shù)的值域）而第二問再解對數(shù)不等式時要注意不僅要利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出真數(shù)的大小關系還應注意真數(shù)要大于0．但對于第三問（包括第四問）必須分析出要使H（x）的圖象與直線y=a有公共點需使a的取值落在函數(shù)H（x）的值域內(nèi)及問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)H（x）=log2

3x+1

x+1

（0≤x≤1）的值域！