Question

已知f（x）=lnx-ax²-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍．
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)g（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)g（x）的最小值；
（3）設(shè)各項(xiàng)為正的數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N^*，求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

【答案】分析：（1）令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離參數(shù)b，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求出函數(shù)的最小值，令b小于等于最小值即可．
（2）令t=e^x，將g（x）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系的討論，求出g（x）的最小值．
（3）先求出輸數(shù)列的前三項(xiàng)的值，歸納出大于等于0，利用數(shù)學(xué)歸納法證得成立，構(gòu)造函數(shù)F（x），利用導(dǎo)數(shù)求出F（x）的最值，得到lna_n≤a_n-1，得證．
解答：解：（1）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
∵f（x）在（0，+∞）遞增
∴對(duì)x∈（0，+∞）恒成立
∴
∵x＞0
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
∴，
且當(dāng)時(shí)，，，
∴符合f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)∴
（2）設(shè)t=e^x，
∵x∈[0，ln2]
∴1≤t≤2，
則函數(shù)g（x）化為：，t∈[1，2]
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)．y在[1，2]遞增∴當(dāng)t=1時(shí)，y_min=b+1
②當(dāng)時(shí)，即-4＜b＜-2，當(dāng)
③當(dāng)，即b≤-4時(shí)，y在[1，2]遞減，當(dāng)t=2時(shí)，y_min=4+2b
綜上：
（3）∵a₁=1，a₂=ln1+1+2=3＞1，a₃=ln3+3+2＞1
假設(shè)a_k≥1（n≥1），則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，∴a_n≥1成立
設(shè)F（x）=lnx-x+1，（x≥1），則
∴F（x）在[1，+∞]單調(diào)遞減，∴F（x）≤F（1）=0，∴l(xiāng)nx≤x-1
∴l(xiāng)na_n≤a_n-1，故a_n+1≤2a_n+1，∴a_n+1+1≤2（a_n+1）a_n+1+1≤2（a_n+1）≤2²（a_n-1+1）≤≤2ⁿ（a₁+1）=2ⁿ⁺¹，
∴a_n+1≤2ⁿ⇒a_n≤2ⁿ-1
點(diǎn)評(píng)：解決函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)常轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0或小于等于0恒成立；證明不等式常通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值證得．