Question

已知橢圓的兩個焦點坐標分別是（-

2

，0），（

2

，0），并且經(jīng)過點（

2

2

，

30

6

）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點（0，-2），且與橢圓交于不同的兩點A、B，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，在求a時利用橢圓的定義比較簡單；
（2）利用弦長公式先求出|AB|，然后利用面積公式構建關于斜率k的函數(shù)，通過換元法利用基本不等求△OAB面積的最大值．

解答： 解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由橢圓的定義可得2a=

( 2 2 + 2 )2+( 30 6 )2

+

( 2 2 - 2 )2+( 30 6 )2

=2

3

．
∴a=

3

，又c=

2

，
∴b=1，
故橢圓的標準方程為

x2

3

+y2=1． 

（2）設直線l的方程為y=kx-2，
由

x2 3 +y2=1 y=kx-2

，得（1+3k²）x²-12kx+9=0，
依題意△=36k²-36＞0，
∴k²＞1（*） 
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

12k

1+3k2

，x1x2=

9

1+3k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

6 k2-1

1+3k2

，
由點到直線的距離公式得d=

2

1+k2

，
∴S△=

1

2

×

1+k2

×

6 k2-1

1+3k2

×

2

1+k2

=

6 k2-1

1+3k2

．  
設

k2-1

=t(t＞0)，則k2=t2+1，
∴S△OAB=6×

t

1+3(t2+1)

=6×

t

3t2+4

=6×

1

3t+ 4 t

≤

3

2

，
當且僅當t=

2 3

3

時，上式取等號，
所以，△OAB面積的最大值為

3

2

．

點評：第（1）問用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，也可以把點代入方程求解，但這種方法計算量大；第（2）問得到的面積表達式比較復雜，當函數(shù)表達式比較復雜時，考慮用換元法轉(zhuǎn)化成簡單函數(shù)，但要注意轉(zhuǎn)化后函數(shù)的定義域．