Question

8．已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-4．若同時(shí)滿足條件：
①?x∈R，f（x）＜0 或g（x）＜0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由①可推得f（x）=m（x-3m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，建立關(guān)于m的不等式組可得m的范圍，然后由②可得：?x∈（-∞，-4），使（x-3m）（x+m+3）＜0成立，只要使-4比3m，-m-3中較小的一個(gè)大即可，分類討論可得m的范圍，綜合可得答案．

解答 解：∵g（x）=2^x-4，當(dāng)x≥2時(shí)，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-3m）（x+m+3）＜0在x≥2時(shí)恒成立，
∴二次函數(shù)圖象開口只能向下，且與x軸交點(diǎn)都在（2，0）的左側(cè)，
即$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\-m-3＜2\\ 3m＜2\end{array}\right.$，解得-5＜m＜0；
又∵?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此時(shí)有g(shù)（x）=2^x-4＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-3m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，∴?x∈（-∞，-4），使（x-3m）（x+m+3）＜0成立，
故只要使-4比3m，-m-3中較小的一個(gè)大即可，
當(dāng)m∈（-$\frac{3}{4}$，0）時(shí)，3m＞-m-3，只要-4＞-m-3，解得m＞1與m∈（-$\frac{3}{4}$，0）的交集為空集；
當(dāng)m=-$\frac{3}{4}$時(shí)，兩根為-2；-2＞-4，不符合；
當(dāng)m∈（-5，-$\frac{3}{4}$）時(shí)，3m＜-m-3，∴只要-4＞3m，解得m＜-$\frac{4}{3}$，
綜上可得m的取值范圍是：（-5，-$\frac{4}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一元二次不等式的解法，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及特殊點(diǎn)，利用了分類討論的思想，分類討論時(shí)要做到不重不漏，考慮問題要全面，是中檔題也是易錯(cuò)題．