Question

5．某班在高三涼山二診考試后，對考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分成六組，第一組[90，100）、第二組[100，110）…第六組[140，150]．得到頻率分布直方圖如圖所示．若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有2人．
（1）請補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；

（2）現(xiàn)從該班成績在[130，150]的學(xué)生中任選三人參加省數(shù)學(xué)競賽，記隨機(jī)變量x表示成績在[130，140）的人數(shù)，求x的分布列和E（x）．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖得第六組的頻率為：0.05，由第六組有2人，求出樣本單元數(shù)n=40，再由第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有2人，求出第四組小矩形的高，第五組小矩形的高，由此能完成頻率分布直方圖．
（2）該班成績在[130，140]的學(xué)生有4人，成績在[140，150]的學(xué)生有2人，從成績在[130，150）的學(xué)生中任選三人參加省數(shù)學(xué)競賽，基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{3}$=20，隨機(jī)變量X表示成績在[130，140）的人數(shù)，則X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得：
第六組的頻率為：0.005×10=0.05，
∵第六組有2人，∴樣本單元數(shù)n=$\frac{2}{0.05}$=40，
∵第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有2人，
設(shè)公差為d，
∴0.020×10×40+0.015×10×40+0.035×10×40+（2+2d）+（2+d）+2=40，
解得d=2，
∴第四組小矩形的高為：$\frac{6}{40}$÷10=0.015，
第五組小矩形的高為：$\frac{4}{40}÷10$=0.010．
∴頻率分布直方圖為：

（2）該班成績在[130，140]的學(xué)生有4人，成績在[140，150]的學(xué)生有2人，
從成績在[130，150）的學(xué)生中任選三人參加省數(shù)學(xué)競賽，
基本事件總數(shù)n=${C}_{6}^{3}$=20，
隨機(jī)變量X表示成績在[130，140）的人數(shù)，則X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、是中檔題．