Question

15．已知f（x）=alnx-x²在區(qū)間（0，1）內任取兩個不相等的實數p、q，不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞1$恒成立，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A． （3，5）
• B． （-∞，0）
• C． （3，5]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 由不等式進行轉化，然后判斷函數的單調性，求函數的導數，利用參數分離法進行求解即可．

解答 解：∵p≠q，不妨設p＞q，由于$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞1$，
∴f（p）-f（q）＞p-q，得[f（p）-p]-[f（q）-q]＞0，
∵p＞q，∴g（x）=f（x）-x在（0，1）內是增函數，
∴g'（x）＞0在（0，1）內恒成立，即$\frac{a}{x}-2x-1$＞0恒成立，
a＞x（2x+1）的最大值，
∵x∈（0，1）時x（2x+1）＜3，
∴實數a的取值范圍為[3，+∞）．
故選：D．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據不等式進行轉化判斷函數的單調性，分離參數是解決本題的關鍵，是中檔題．