Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)(-

1

2

，-2)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知b=2，a2=(

2

b)2=8，由此能夠求出橢圓方程．
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．由 

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠?qū)С鲋本�AB過(guò)定點(diǎn)（-

1

2

，-2）．若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，由題設(shè)條件能夠?qū)С鲋本�AB過(guò)定點(diǎn)（-

1

2

，-2）．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F₁MF₂是等腰直角三角形，
∴b=2，a2=(

2

b)2=8，
所求橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1． …（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，
依題意m≠±2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（7分）
則x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=8，
∴

kx1+m-2

x1

+

kx2+m-2

x2

=8，
即2k+（m-2）•

x1+x2

x1x2

=8．…（10分）
所以k=-

mk

m+2

=4，整理得 m=

1

2

k-2．
故直線AB的方程為y=kx+

1

2

k-2，即y=k（x+

1

2

）-2．
所以直線AB過(guò)定點(diǎn)（-

1

2

，-2）． …（12分）
若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知

y0-2

x0

+

-y0-2

x0

=8，
得x0=-

1

2

．此時(shí)AB方程為x=-

1

2

，顯然過(guò)點(diǎn)（-

1

2

，-2）．
綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn)（-

1

2

，-2）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．