Question

14．2012年中華人民共和國環(huán)境保護(hù)部批準(zhǔn)《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》為國家環(huán)境質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)增設(shè)和調(diào)整了顆粒物、二氧化氮、鉛、笨等的濃度限值，并從2016年1月1日起在全國實施．空氣質(zhì)量的好壞由空氣質(zhì)量指數(shù)確定，空氣質(zhì)量指數(shù)越高，代表空氣污染越嚴(yán)重，某市對市轄的某兩個區(qū)加大了對空氣質(zhì)量的治理力度，從2015年11月1日起監(jiān)測了100天的空氣質(zhì)量指數(shù)，并按照空氣質(zhì)量指數(shù)劃分為：指標(biāo)小于或等于115為通過，并引進(jìn)項目投資．大于115為未通過，并進(jìn)行治理．現(xiàn)統(tǒng)計如下．

空氣質(zhì)量指數(shù)	（0，35]	（35，75]	（75，115]	（115，150]	（150，250]	＞250
空氣質(zhì)量類別	優(yōu)	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴(yán)重污染
甲區(qū)天數(shù)	13	20	42	20	3	2
乙區(qū)天數(shù)	8	32	40	16	2	2

（Ⅰ）以頻率值作為概率值，求甲區(qū)和乙區(qū)通過監(jiān)測的概率；
（Ⅱ）對于甲區(qū)，若通過，引進(jìn)項目可增加稅收40（百萬元），若沒通過監(jiān)測，則治理花費(fèi)5（百萬元）；對于乙，若通過，引進(jìn)項目可增加稅收50（百萬元），若沒通過監(jiān)測，則治理花費(fèi)10（百萬元）．在（Ⅰ）的前提下，記X為通過監(jiān)測，引進(jìn)項目增加的稅收總額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）利用古典概率計算公式、互斥事件的概率計算公式即可得出．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有取值為90，45，30，-15．利用相互獨(dú)立事件概率計算公式及其分布列、數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）甲區(qū)通過監(jiān)測的概率約為$\frac{42+20+13}{100}=\frac{3}{4}$．
乙區(qū)通過監(jiān)測的概率約為$\frac{40+32+8}{100}=\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有取值為90，45，30，-15．
$P（X=90）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{5}$；$P（X=45）=\frac{4}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{5}$；$P（X=30）=\frac{1}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{20}$；$P（X=-15）=\frac{1}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$；
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴$EX=90×\frac{3}{5}+45×\frac{1}{5}+30×\frac{3}{20}-15×\frac{1}{20}=66\frac{3}{4}$（百萬元）．

點(diǎn)評 本題考查了古典概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、相互獨(dú)立事件概率計算公式及其分布列、數(shù)學(xué)期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．