Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，動點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)，且P到棱AD的距離與到對角線BC₁的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題

分析：作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC₁，連接PF，由線面垂直的判定定理、定義可得：PF是P到BC₁的距離，以D為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，利用條件建立方程，化簡后判斷出點(diǎn)P的軌跡．

解答： 解：假設(shè)正方體邊長為1，
作PM⊥AD、PE⊥BC、EF⊥BC₁，連接PF，
因?yàn)镻E⊥CC₁，BC∩CC₁=C，所以PE⊥平面BCB₁C₁，
則PE⊥BC₁，又EF⊥BC₁，PE∩EF=E，
所以BC₁⊥平面PEF，則BC₁⊥PF，
所以PF是P到對角線BC₁的距離，
以D為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系；
設(shè)任意一點(diǎn)P（x，y），到直線AD距離為|y|，到BC的距離PE=1-y，
在RT△BEF中，BE=1-x，EF=

2

2

(1-x)，
在RT△PEF中，PF=

|PE|2+|EF|2

=

(1-y)2+[ 2 2 (1-x)]2

，
因?yàn)镻到棱AD的距離與到對角線BC₁的距離相等，
所以|y|=

(1-y)2+[ 2 2 (1-x)]2

，
化簡得，（x-1）²=-4y+2（y≤

1

2

），
所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線，
故答案為：拋物線．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程以及軌跡，線面垂直的判定定理、定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定軌跡方程是關(guān)鍵．