Question

14．知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）．
（1）求直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求當(dāng)m=0時，直線被圓所截的弦長．．

Answer 1

分析 （1）將直線l變形，得到關(guān)于m的一次方程，得到關(guān)于x，y的方程組，解出可得直線l恒過定點(diǎn)；
（2）求出直線l的方程，聯(lián)立直線和圓的方程，代入弦長公式即可．

解答 解：（1）直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4
可化為m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
令 $\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直線l恒過定點(diǎn)A（3，1）；
（2）m=0時，直線l：x+y-4=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{{（x-1）}^{2}{+（y-2）}^{2}=25}\end{array}\right.$，
消去y得：x²-3x-10=0，
解得：x=5或x=-2，
故弦長l=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=7$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 題考查直線恒過定點(diǎn)，考查弦長的計算，解題的關(guān)鍵是掌握圓的特殊性，屬于中檔題．