Question

17．已知三棱錐S-ABC，滿足SA，SB，SC兩兩垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱錐S-ABC外接球上一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 SA，SB，SC是棱長為2的正方體MNPB-ADCS上具有公共頂點S的三條棱，以B為原點，BM、BP、BS分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，三棱錐S-ABC外接球就是棱長為2的正方體MNPB-ADCS的外接球，點Q與N重合時，點Q到平面ABC的距離的最大值，由此能求出點Q到平面ABC的距離的最大值．

解答 解：∵三棱錐S-ABC，滿足SA，SB，SC兩兩垂直，且SA=SB=SC=2，
∴如圖，SA，SB，SC是棱長為2的正方體MNPB-ADCS上具有公共頂點S的三條棱，
以B為原點，BM、BP、BS分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則B（0，0，0），A（2，0，2），C（0，2，2），S（0，0，2），N（2，2，0），
$\overrightarrow{BA}$=（2，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，2），$\overrightarrow{BN}$=（2，2，0），
設平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-2），
三棱錐S-ABC外接球就是棱長為2的正方體MNPB-ADCS的外接球，
∵Q是三棱錐S-ABC外接球上一動點，
∴點Q與N重合時，點Q到平面ABC的距離的最大值，
∴點Q到平面ABC的距離的最大值為：
d=$\frac{|\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2+2+0|}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查點到平面的距離的最大值的求法，考查三棱錐、球、空間直角坐標系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．