已知曲線，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)（n=1,2,…）.

（1）試寫(xiě)出曲線在點(diǎn)處的切線的方程，并求出與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若原點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)與為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，

證明：

．解：（1），設(shè)切線的斜率為，則

       

∴曲線在點(diǎn)處的切線的方程為：

又∵點(diǎn)在曲線上, ∴

∴曲線在點(diǎn)處的切線的方程為：即

令得，∴曲線在軸上的交點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）原點(diǎn)到直線的距離與線段的長(zhǎng)度之比為：

    

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)。此時(shí)，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）證法一：要證

只要證

只要證

，又

所以：

證法二：由上知，只需證，

又，故只需證，可用數(shù)學(xué)歸納法證明之

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在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為      ．

 

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（本小題滿分14分）

已知曲線，點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).

（1）試寫(xiě)出曲線在點(diǎn)處的切線的方程，并求出與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若原點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比取得最大值，試求試點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)與為兩個(gè)給定的不同的正整數(shù)，與是滿足（2）中條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，

證明：

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年高考模擬數(shù)學(xué)專(zhuān)題：壓軸大題（解析版） 題型：解答題

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（�。┣笞C：曲線y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
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已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果存在曲線上的點(diǎn)Q（x，y），且x1＜x＜x2，使得曲線在點(diǎn)Q處的切線?∥P1P2，則稱(chēng)?為弦P1P2的伴隨切線．特別地，當(dāng)x=λx1+（1-λ）x2（0＜λ＜1）時(shí)，又稱(chēng)?為P1P2的λ-伴隨切線．
（ⅰ）求證：曲線y=f（x）的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；
（ⅱ）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．

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