Question

7．已知函數(shù)f（x）=4cos（$\frac{π}{3}$-ωx）cosωx-1（ω＞0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．可得周期T=π，從而求出ω，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；利用x在[0，2π]上k取不同的值，可得各段單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4cos（$\frac{π}{3}$-ωx）cosωx-1（ω＞0）
化簡可得：f（x）=4（cos$\frac{π}{3}$cosωx+sin$\frac{π}{3}$sinωx）cosωx-1
=4（$\frac{1}{2}$cosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）cosωx-1
=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-1
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，所以$\frac{2π}{2ω}=π$，即ω=1，
∴f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
 可得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，
∵x在[0，2π]上，
當(dāng)k=0時，得函數(shù)f（x）在[0，2π]單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]；
當(dāng)k=1，得函數(shù)f（x）在[0，2π]單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]；
當(dāng)k=2，得函數(shù)f（x）在[0，2π]單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{5π}{3}$，2π]．
故得函數(shù)f（x）在[0，2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]和[$\frac{5π}{3}$，2π]．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．