Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．
（Ⅰ）求證：BD⊥EG；
（Ⅱ）求EG和平面ABCD所成的角；
（Ⅲ）求二面角B-DC-F的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，欲證BD⊥EG，只需證

EG

與

BD

的數(shù)量積為零即可；
（Ⅱ）先求出面ABCD的法向量為

n

1，然后求出法向量為

n

1與

EG

的夾角，根據(jù)EG和平面ABCD所成的角與法向量為

n

1與

EG

的夾角互補(bǔ)即可求得；
（Ⅲ）先求出平面DFC的法向量為

n

2，利用兩平面的法向量求出兩向量的夾角的余弦值，從而得到二面角B-DC-F的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），
D（0，2，2），G（2，2，0），F(xiàn)（0，3，0）．

EG

=（2，2，0），

BD

=（-2，2，2），（2分）
∴cos＜

EG

，

BD

＞=0，
∴BD⊥EG．（5分）
（Ⅱ）設(shè)面ABCD的法向量為

n

1=（x，y，z）則

n1

•

AB

=0，

n1

•

BC

=0，
即

2x-2z=0 4y=0

設(shè)x=1，即

n1

=(1，0，1)，（7分）
cos＜

n1

，

EG

＞=

1

2

，
EG和平面ABCD所成的角為30°．（10分）
（Ⅲ）設(shè)平面DFC的法向量為

n2

=(x，y，z)，

n2

•

DC

=0，

n2

•

FC

=0，

2x+2y-2z=0 2x+y=0

取x=1，

n2

=(1，-2，3)，（12分）
cos＜

n1

，

n2

＞=0，
∴所以二面角B-DC-F的斜弦值為0．

點(diǎn)評(píng)：立幾中對(duì)空間的線線、線面、面面關(guān)系的考查是主線，在理科生中對(duì)空間向量的要求也是課標(biāo)要求．