Question

用反證法證明：
設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足條件=2求證：a、b、c中至少有兩上不小于1.

Answer 1

證明略

[解題思路]：用反證法證題時(shí)作出正確的反設(shè)是前提，“a, b, c中至多有一個(gè)數(shù)不小于1”的反設(shè)為“a, b, c中至多有一個(gè)數(shù)不小于1”，有兩種情況“a、b、c三數(shù)均小于1”和“a、b、c中有兩數(shù)小于1”；而推出矛盾是關(guān)鍵，也是難點(diǎn).
假設(shè)a, b, c中至多有一個(gè)數(shù)不小于1，這包含下面兩種情況：
（1）a、b、c三數(shù)均小于1，
即0<a<1 , 0<b<1, 0<c<1,則
∴>3與已知條件矛盾；
（2）a、b、c中有兩數(shù)小于1，
設(shè)0<a<1,  0<b<1,而c≥1，則
∴>2+>2，也與已知條件矛盾；
∴假設(shè)不成立，∴a、b、c中至少有兩個(gè)不小于1.
【名師指引】利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的關(guān)系，將不易判斷真假的命題，轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假（尤其是對否定式語句的命題），充分利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法。正確的反設(shè)是（即否定結(jié)論）是正確運(yùn)用反證法的前提，要注意一些常用的“結(jié)論否定形式”，另外，需注意作出的反設(shè)必須包括與結(jié)論相反的所有情況。