Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的焦點，橢圓的右準線l與x軸交于A點，若F₁（-1，0），且．
（I）求橢圓的方程；
（II）過F₁、F₂作互相垂直的兩直線分別與橢圓交于P、Q、M、N四點，若直線MN的傾斜角為，求四邊形PMQN的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，，c=1，故A（a²，0），由，知F₂為AF₁的中點，由此能求出橢圓方程．
（II）由直線MN的傾斜角為，知直線MN的斜率k=1，故直線MN的方程為y=x-1，把y=x-1代入橢圓方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，由此能求出四邊形PMQN的面積．
解答：解：（I）由題意，，c=1，∴A（a²，0），
∵，∴F₂為AF₁的中點，
∴a²=3，b²=2，
∴橢圓方程為．
（II）由于直線MN的傾斜角為，∴直線MN的斜率k=1，
直線MN的方程為y=x-1，
把y=x-1代入橢圓方程2x²+3y²=6，得5x²-6x-3=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，
所以==．
同理|PQ|=，
∴四邊形PMQN的面積S=．
點評：本題考查橢圓方程的求法和求四邊形的面積，具體涉及到橢圓的簡單性質，直線與橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．