已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1-x)=f(-x-3),當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=
x
2
,那使f(x)=
1
2
成立的x的集合為( 。
A、{x|x=2n,n∈Z}
B、{x|x=2n-1,n∈Z}
C、{x|x=4n-1,n∈Z}
D、{x|x=4n+1,n∈Z}
分析:由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,又由f(1-x)=f(-x-3),則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,則易得函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),又由當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=
x
2
,則當(dāng)x=1時(shí),f(x)=
1
2
,則易求f(x)=
1
2
成立的x的集合.
解答:解:∵函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,
又∵f(1-x)=f(-x-3),
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,
∴函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),
又∵當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)=
x
2
,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)=
1
2
,
∴使f(x)=
1
2
成立的x的集合為{x|x=2n-1,n∈Z}
故選B
點(diǎn)評(píng):利用函數(shù)的周期性解題要注意:對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,①若f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)的周期;②若f(x+T)=-f(x),則2T為函數(shù)的周期;③若(a,y),(b,y)分別為函數(shù)的兩個(gè)對(duì)稱中心則T=2|a-b|④若x=a,x=b都是函數(shù)的對(duì)稱軸,則T=2|a-b|.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計(jì)算:[f(1)]2-[g(1)]2
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn),且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長(zhǎng)度是一個(gè)定值,則AB的值是( 。

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