Question

7．設(shè)-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$，且方程cos2x-4acosx-a+2=0有兩個(gè)不同的解，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)t=cosx，則t∈[0，1]，由題意可得，關(guān)于t的方程 2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0，故有①f（0）f（1）＜0，或②若$\left\{\begin{array}{l}{△=16{a}^{2}+8a-8=0}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，或③t=0，分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答 解：于x的方程cos2x-4acosx-a+2=0 即 2cos²x-4acosx+1-a=0．
由于x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故 cosx∈[0，1]，設(shè)t=cosx，則t∈[0，1]，2t²-4at+1-a=0．
由于（0，1）內(nèi)的一個(gè)t值對(duì)應(yīng)了（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）內(nèi)的2個(gè)x值，
則由題意可得，關(guān)于t的方程f（t）=2t²-4at+1-a=0在（0，1）上有唯一解，或t=0．
①若f（0）f（1）=（1-a）（3-5a）＜0，解得 $\frac{3}{5}$＜a＜1．
②若 $\left\{\begin{array}{l}{△=16{a}^{2}+8a-8=0}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，則解得a=$\frac{1}{2}$．
③若t=0，則由 2t²-4at+1-a=0可得 a=1．
綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|$\frac{3}{5}$＜a≤1，或 a=$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．