Question

(08年龍巖一中沖刺理)（12分）

已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為動(dòng)點(diǎn)，若，為定值（其中>1），的最小值為.

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交軌跡于，兩點(diǎn)，判斷的大小是否為定值？并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意點(diǎn)的軌跡為以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸為的橢圓。設(shè)橢圓方程為（）            ………………1分

由雙曲線方程，得雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1，0），（1，0），設(shè)，,，，

由余弦定理得………3分

又 ，當(dāng)時(shí)取“=”，即

∴  ，得    ∴ 

∴  動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為                         ………………6分

（Ⅱ）當(dāng)軸時(shí)，直線的方程為，代入解得、的坐標(biāo)分別為、   而，∴，

猜測(cè)為定值。                            ………………………7分

證明：設(shè)直線的方程為，

由  ，得

∴ ，             ………………9分

∴

         

         

         

         

∴ 為定值.                          ………………………12分