Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P－ABCD中，PA＝AC＝2，PB＝PD＝

(1)證明PA⊥平面ABCD；

(2)已知點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，點(diǎn)F為棱PC的中點(diǎn)，證明BF//平面AEC．

(3)求四面體FACD的體積

Answer 1

答案：
解析：

證明： 　　(Ⅰ)因?yàn)樵谡�方形ABCD中，AC＝2 　　∴AB＝AD＝ 　　可得：在△PAB中，PA2＋AB2＝PB2＝6． 　　所以PA⊥AB 　　同理可證PA⊥AD 　　故PA⊥平面ABCD　　(4分) 　　(Ⅱ)取PE中點(diǎn)M，連接FM，BM， 　　連接BD交AC于O，連接OE 　　∵F，M分別是PC，PF的中點(diǎn)， 　　∴FM∥CE， 　　又FM面AEC，CE面AEC 　　∴FM∥面AEC 　　又E是DM的中點(diǎn) 　　OE∥BM，OE面AEC，BM面AEC 　　∴BM∥面AEC且BM∩FM＝M 　　∴平面BFM∥平面ACE 　　又BF平面BFM，∴BF∥平面ACE　　(4分) 　　(3)連接FO，則FO∥PA，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則FO⊥平面ABCD，所以FO＝1， 　　S⊿ACD＝1， 　　∴VFACD＝VF－ACD＝　　(4分)