Question

等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差d=-1，前n項(xiàng)和為S_n
（Ⅰ）若S₅=-5，求a₁的值；
（Ⅱ）若S_n≤a_n對(duì)任意正整數(shù)n均成立，求a₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件得，s5=5a1+

5×4

2

d=-5，結(jié)合已知公差d可求a₁
（Ⅱ）由S_n≤a_n，代人等差數(shù)列的求和公式及通項(xiàng)公式整理，變量分離得：（n-1）a₁≤

1

2

n2-

3n

2

+1=

1

2

(n-1)(n-2)，轉(zhuǎn)化為求解最值即可

解答：解：（Ⅰ）由條件得，s5=5a1+

5×4

2

d=-5          …（3分）
∵d=-1
解得a₁=1                                     …（5分）
（Ⅱ）由S_n≤a_n，代人得-

1

2

n2+(a1+

1

2

)n≤a1+1-n    …（7分）
整理，變量分離得：（n-1）a₁≤

1

2

n2-

3n

2

+1=

1

2

(n-1)(n-2) …（9分）
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立                             …（10分）
當(dāng)n＞1時(shí)，a1≤

1

2

(n-2)                        …（11分）
n=2時(shí)，

1

2

(n-2)取到最小值0，…（12分）
∴a₁≤0        …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，恒成立問題與最值求解問題的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用．