Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²﹣2ⁿx+b_n=0（n∈N*）的兩實(shí)根，且a₁=1．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求S_n；
（3）問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n對(duì)任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵a_n，a_n+1是關(guān)于x的方程x²﹣2ⁿx+b_n=0（n∈N*）的兩實(shí)根，
∴
∵．
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為﹣1的等比數(shù)列．
（2）由（1）得，即
∴
=．
（3）由（2）得
要使b_n＞λS_n，對(duì)n∈N*都成立，
即（*）
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，由（*）式得：
即
∵2n+1-1＞0，
∴對(duì)任意正奇數(shù)n都成立，
故為奇數(shù)）的最小值為1．
∴λ＜1．
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，由（*）式得：，
即
∵2n-1＞0，
∴對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，
故為偶數(shù)）的最小值為．
∴．
綜上所述得，存在常數(shù)λ，使得b_n＞λS_n
對(duì)n∈N*都成立，λ的取值范圍為（﹣∞，1）．