Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）若a＜5，設g（x）=f（x）+x，
（�。┣笞Cg（x）為單調遞增函數(shù)；
（ⅱ）求證對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)的運算法則并對a分類討論即可得出單調性；
（2）（i）利用導數(shù)的運算法則和基本不等式、導數(shù)與函數(shù)單調性的關系即可證明；
（ii）由（ⅰ）知當x₁＞x₂＞0時有g（x₁）-g（x₂）＞0，代入變形即可證明．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=x-a+

a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

，
（i）若a-1=1，即a=2，則f′(x)=

(x-1)2

x

≥0在（0，+∞）上單調遞增．
（ii）若a-1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，
則當x∈（a-1，1）時，f′（x）＜0；當x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0．
故f（x）在（a-1，1）上單調遞減，在（0，a-1），（1，+∞）上單調遞增．
（iii）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）上單調遞減，在（0，1），（a-1，+∞）上單調遞增．
（2）證明：（ⅰ）g（x）=f（x）+x=

1

2

x2-ax+(a-1)lnx+x，
則g′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

≥2

x• a-1 x

-(a-1)=1-(

a-1

-1)2．
由于1＜a＜5，∴0＜

a-1

＜2，∴-1＜

a-1

-1＜1，0≤(

a-1

-1)2＜1．
故g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞） 上單調遞增．
（ⅱ）由（ⅰ）知當x₁＞x₂＞0時有g（x₁）-g（x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）+x₁-x₂＞0，
故

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞-1，
當0＜x₁＜x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

點評：本題考查了利用導研究函數(shù)的單調性、分類討論、恒成立問題的等價轉化等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．