Question

一海豚在水池中自由游弋，水池為長30米，寬20米的長方形，求此海豚嘴離岸邊不超過2米的概率.

(1)采用設(shè)計模擬試驗(yàn)的方法，估計事件A=“海豚嘴尖離岸邊不超過2米”的概率;

(2)采用“幾何概型”求事件的概率.

 

           

Answer 1

思路分析：本題考查隨機(jī)模擬法求概率及幾何概型的求法.

解：(1)用計算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來模擬海豚在水中自由游弋的試驗(yàn).先產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)x、y，它們表示海豚嘴尖的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，如果(x，y)出現(xiàn)在圖示的陰影區(qū)域，我們說事件A發(fā)生了，算法步驟如下：

    第一步：利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生-15—15之間的隨機(jī)數(shù)作為海豚嘴尖的橫坐標(biāo)，產(chǎn)生-10—10之間的隨機(jī)數(shù)作為海豚嘴尖的縱坐標(biāo).

    第二步：判斷(x，y)是否落在陰影部分，即是否滿足||x|-15|≤2或||y|-10|≤2，如果是，則事件A發(fā)生了，記錄發(fā)生次數(shù)m.

    第三步：記錄試驗(yàn)次數(shù)n，若繼續(xù)試驗(yàn)，則返回第一步，否則程序結(jié)束.

程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率作為A的概率的近似值，所以P(A)≈.

下表是部分模擬的結(jié)果，供大家參考：

試驗(yàn)次數(shù)	事件A的次數(shù)	事件A的頻率
100	35	0.35
1 000	324	0.324
10 000	2 997	0.299 7
100 000	30 506	0.305 06

(2)對于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來求隨機(jī)事件的概率.

   

圖3-3-8

 如圖3-3-8所示，大矩形表示長30 m，寬20 m的水池，圖中陰影部分表示事件A=“海豚嘴尖離岸邊不超過2 m”，問題轉(zhuǎn)化為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率.

于是事件P(A)=≈0.31.

    巧解提示 比較用模擬方法得到的事件A的概率與幾何概型計算得到的事件A的概率可知，這兩個結(jié)果極其相似，

    說明模擬方法是一種非常有效而且廣泛使用的方法，尤其是現(xiàn)實(shí)的試驗(yàn)難以實(shí)施或不可能實(shí)施時，模擬可以給我們提供解決問題的方案.