Question

已知函數(shù)f(x)=

4x-2

x+1

(x≠-1，x∈R)，數(shù)列{a_n}滿足 a₁=a（a≠-1，a∈R），an+1=f(an)(n∈N*)．
（1）若數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，求a的值；
（2）當(dāng)a₁=4時(shí)，記bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求

lim

n→∞

an．

Answer 1

分析：（1）由已知數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，可得a_n+1=a_n=a，結(jié)合a_n+1=f（a_n）及已知函數(shù)f（x）可得關(guān)于a的方程，可求a
（2）由a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，及a_n+1=f（a_n）=

4an-2

an+1

，利用遞推關(guān)系可求b_n+1與b_n的關(guān)系，可證{b_n}為等比數(shù)列，進(jìn)而可求b_n，代入bn=

an-2

an-1

可求a_n，可求極限

解答：（1）解：∵f(x)=

4x-2

x+1

，a1=a，an+1=f(an)(n∈N*)，數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，
∴a_n+1=a_n=a，即a=

4a-2

a+1

，解得a=2，或a=1．
∴所求實(shí)數(shù)a的值是1或2．
（2）證明：∵a1=4，bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴b1=

2

3

，bn+1=

an+1-2

an+1-1

=

4an-2 an+1 -2

4an-2 an+1 -1

=

2

3

an-2

an-1

，
即bn+1=

2

3

bn(n∈N*)．
∴數(shù)列{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，公比為q=

2

3

的等比數(shù)列，
于是bn=

2

3

(

2

3

)n-1=(

2

3

)n(n∈N*)．
由bn=

an-2

an-1

，即

an-2

an-1

=(

2

3

)n，
解得an=

( 2 3 )n-2

( 2 3 )n-1

(n∈N*)．
∴

lim

n→∞

an=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查 了利用數(shù)列的遞推公式證明等比數(shù)列，求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列極限的求解，試題具有一定的綜合性