Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式  
（2）記b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)，有等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；
（2）把（1）中求得的結(jié)果代入b_n=a_n•log₂a_n，求出b_n，利用錯(cuò)位相減法求出T_n．
解答：解：（1）a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)，且a₁=2，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄
即2（a₁q²+2）=a₁q+a₁q³
∴q=2
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ
（2）∵b_n=2ⁿlog₂2ⁿ=n•2ⁿ
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
∴2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
點(diǎn)評(píng)：查等比數(shù)列求通項(xiàng)公式和等差、等比中項(xiàng)的概念及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和S_n，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．