Question

6．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線AB₁與平面ABC₁D₁所成的角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標系．不妨時AB=1，取平面ABC₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），則直線AB₁與平面ABC₁D₁所成的角的正弦值=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標系．
不妨時AB=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B₁（1，1，1），
A₁（1，0，1）．
則$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
取平面ABC₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，1），
則直線AB₁與平面ABC₁D₁所成的角的正弦值
=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了空間位置關系、法向量的應用、線面角、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．