Question

已知方程a^2x+1=x²+x有一實(shí)數(shù)解x₀，且x∈（

1

4

，

1

2

），求a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分離參數(shù)得出a=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

），構(gòu)造函數(shù)f（x）=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

）是單調(diào)遞增函數(shù)，
求出最值，運(yùn)用2個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題求解即可．

解答： 解：∵a^2x+1=x²+x，
∴a=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

），
令f（x）=

2x+1	x2+x

，x∈（

1

4

，

1

2

）根據(jù)函數(shù)解析式判斷f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
f（

1

4

）=（

5

16

） 

2

3

，
f（

1

2

）=

3

2

，
∴y=a與f（x）=

2x+1	x2+x

=（x²+x） 

1

2x+1

，x∈（

1

4

，

1

2

）有1個(gè)交點(diǎn)，
∴（

5

16

） 

2

3

＜a＜

3

2

，

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性判斷范圍，即可得出所求字母的范圍，屬于中檔題．