Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{6}$a，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$：

Answer 1

分析 求出圓心到直線的距離d=$\frac{丨0+0-1丨}{\sqrt{（\frac{1}{a}）^{2}+（\frac{1}）^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，利用以F₁F₂為直徑的圓被直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{6}$a，即2$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{6}$a，求出a，c的關(guān)系，由e=$\frac{c}{a}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，由c²=a²+b²，
，圓心O（0，0）到直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1距離為d=$\frac{丨0+0-1丨}{\sqrt{（\frac{1}{a}）^{2}+（\frac{1}）^{2}}}$=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
∵以F₁F₂為直徑的圓被直線直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{6}$a，
∴2$\sqrt{{c}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{6}$a，
∴2（c⁴-a²b²）=3a²c²，
∴2c⁴-2a²（c²-a²）=3a²c²，
∴2e⁴-5e²+2=0，
∵e＞1，
解得：e=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的弦長(zhǎng)公式的計(jì)算以及雙曲線離心率的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．