(2011•邢臺(tái)一模)如圖,某學(xué)校要用鮮花布置花圃中ABCDE五個(gè)不同區(qū)域,要求同一區(qū)域上用一種顏色的鮮花,相鄰區(qū)域使用不同顏色的鮮花,現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、白、紫五種不同顏色的鮮花可供任意選擇.
(I)求恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率;
(II)記ξ為花圃中用紅色鮮花布置的區(qū)域的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ.
分析:(I)顏色相同的區(qū)域只可能是區(qū)域A、D和區(qū)域B、E,求出基本事件的總數(shù)和恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花所包含的基本事件的個(gè)數(shù)即可求得.
(II)花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)可能為0,1,2.求出相應(yīng)的概率即可求得分布列及期望.
解答:解:(I)設(shè)M表示事件“恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花”,如圖:
當(dāng)區(qū)域A、D同色時(shí),共有5×4×3×1×3=180種;
當(dāng)區(qū)域A、D不同色時(shí),共有5×4×3×2×2=240種;
因此,所有基本事件總數(shù)為:180+240=420種
又因?yàn)锳、D為紅色時(shí),共有4×3×3=36種;
B、E為紅色時(shí),共有4×3×3=36種;
因此,事件M包含的基本事件有:36+36=72種
所以,恰有兩個(gè)區(qū)域用紅色鮮花的概率P(M)=
72
420
=
6
35

(II)由題意可得:隨機(jī)變量ξ的取值分別為0,1,2.
則當(dāng)ξ=0時(shí),用黃、藍(lán)、白、橙四種顏色來(lái)涂色,
若A、D為同色時(shí),共有4×3×2×1×2=48種;
若A、D為不同色時(shí),共有4×3×2×1×1=24種;
即ξ=0所包含的基本事件有48+24=72種,
所以P(ξ=0)=
72
420
=
6
35
;
由第(I)可得P(ξ=2)=
6
35

所以P(ξ=1)=1-
6
35
-
6
35
=
23
35

從而隨機(jī)變量X的分布列為
                       ξ 0                        1 2
 P                       
6
35
                          
23
35
  
6
35
∴E(ξ)=0×
6
35
+1×
23
35
+2×
6
35
=1.
點(diǎn)評(píng):解決此類問(wèn)題的根據(jù)是熟練利用排列與組合的知識(shí)對(duì)區(qū)域進(jìn)行涂色,以及掌握等可能事件概率的計(jì)算公式與離散型隨機(jī)變量的期望與方差.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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x
)n
的展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)(n=2、3、4、…),則
lim
n→∞
(
32
a2
+
33
a3
+…+
3n
an
)
=
18
18

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(2011•邢臺(tái)一模)某射擊游戲規(guī)定每擊中目標(biāo)一次得20分,游客甲每次擊中目標(biāo)的概率均為
2
3
,則他射5次得60分且恰有一次兩連中的概率為
16
81
16
81
.(以最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答)

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(2011•邢臺(tái)一模)已知有下列四個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=2x-x2在(-∞,0)是增函數(shù);
②若f(x)在R上恒有f(x+2)•f(x)=1,則4為f(x)的一個(gè)周期;
③函數(shù)y=2cosx2+sin2x的最小值為
2
+1
;
④對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、x、y,都有ax+by≤
a2+b2
x2+y2
;
則以上命題正確的是
①②④
①②④

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