Question

15．在（1+x）²ⁿ+x（1+x）^2n-1+…+xⁿ（1+x）ⁿ的展開式中，xⁿ的系數為（　�。�

• A． $\frac{（2n+1）!}{n!n!}$
• B． $\frac{（2n+2）!}{n!n!}$
• C． $\frac{（2n+1）!}{n!（n+1）!}$
• D． $\frac{（2n+2）!}{n!（n+1）!}$

Answer 1

分析 根據二項式展開式的通項公式，得出展開式中xⁿ項的系數為C_2nⁿ+C_2n-1^n-1+C_2n-2n^n-2+…+C_n+1¹+C_n⁰，計算即可．

解答 解：（1+x）²ⁿ中xⁿ的系數為C_2nⁿ，
x（1+x）^2n-1中xⁿ的系數為C_2n-1^n-1，
x²（1+x）^2n-2中xⁿ的系數為C_2n-2^n-2，
…，xⁿ（1+x）ⁿ中xⁿ的系數為C_n⁰；
所以展開式中xⁿ項的系數為
C_2nⁿ+C_2n-1^n-1+C_2n-2n^n-2+…+C_n+1¹+C_n⁰=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_nⁿ
=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_nⁿ
=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_n+1ⁿ⁺¹
=C_2n+1ⁿ⁺¹
=$\frac{（2n+1）!}{n!•（n+1）!}$．
故選：C．

點評 本題考查了二項式定理的應用問題，也考查了推理與計算能力，正確運用二項式定理是解題的關鍵．