Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，若g（x）=ax³-2bx²在區(qū)間[t，t+1]上單調遞增，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． [-2，-1]
• C． [-2，0]
• D． [-3，-1]

Answer 1

分析 由于f′（x）=3x²+2ax+b，依題意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，于是有b=-3-2a，代入f（1）=10即可求得a，b，先求出函數(shù)的單調區(qū)間，結合函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調遞增，得到不等式組，解出即可．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
當a=-2，b=1時，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
當$\frac{1}{3}$＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1處取得極小值，與題意不符；
當a=-6，b=9時，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當x＜1時，f′（x）＞0，當＜x＜3時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取得極大值，符合題意；
∴g（x）=-6x³-18x²在[t，t+1]上單調遞增，
∴g′（x）=-18x²-36x＞0，即x（x+2）＜0，即-2＜x＜0在[t，t+1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞-2}\\{t+1＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜t＜-1，
故t的取值范圍為（-2，-1），
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，求得f′（x）=3x²+2ax+b，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是關鍵，考查分析、推理與運算能力，屬于中檔題．