Question

18．已知函數(shù)f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+a}$為定義在R上的奇函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（0）=0，求出a的值，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在x∈[-1，1]的值域，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）是R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
故1-$\frac{2}{1+a}$=0，解得：a=1，
故f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
x→+∞時(shí)，f（x）→1，
x→-∞時(shí)，f（x）→-1，
f（x）在R遞增，
證明如下：
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在R遞增；
（2）由（1）f（x）在[-1，1]遞增，
而f（-1）=$\frac{1}{3}$，f（1）=$\frac{2}{3}$，
故x∈[-1，1]時(shí)，f（x）∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]，
若關(guān)于x的方程f（x）=m在[-1，1]上有解，
則m∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查單調(diào)性的證明，是一道中檔題．