Question

15．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積和表面積分別為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$，6+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$
• B． 8，6+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$
• C． 8，6+2$\sqrt{2}$+4$\sqrt{5}$
• D． $\frac{8}{3}$，6+2$\sqrt{2}$+4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三視圖可知該幾何體一個(gè)四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度，利用錐體體積公式計(jì)算出幾何體的體積，由面積公式求出幾何體的表面積．

解答 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)四棱錐，
底面是一個(gè)邊長為2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，
其中E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF、PA，
∴幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$，
在△PEB中，PB=$\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，同理可得PC=$\sqrt{5}$，
∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，
∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，則CD⊥PC，
在△PCD中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{5+4}$=3，
同理可得PA=3，則PF⊥AD，
在△PDF中，PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{9-1}$=$2\sqrt{2}$，
∴此幾何體的表面積S=2×2+$\frac{1}{2}×2×2$+$2×\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$
=$6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$
∴幾何體的體積是$\frac{8}{3}$；表面積是$6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三視圖求幾何體的體積以及表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力和邏輯推理能力．