Question

在菱形ABCD中，∠ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率是（　�。�

• A．

  π

  6

• B．1-

  π

  6

• C．

  π

  8

• D．1-

  π

  8

Answer 1

分析：以菱形ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心、半徑為1作圓如圖所示，可得當(dāng)該點(diǎn)位于圖中陰影部分區(qū)域時(shí)，它到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1．因此算出菱形ABCD的面積和陰影部分區(qū)域的面積，利用幾何概型計(jì)算公式加以計(jì)算，即可得到所求的概率．

解答：解：分別以菱形ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)為圓心，作半徑為1的圓，如圖所示．
在菱形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P位于四個(gè)圓的外部或在圓上時(shí)，
滿足點(diǎn)P到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1，即圖中的陰影部分區(qū)域
∵S_菱形ABCD=AB•BCsin30°=4×4×

1

2

=8，
∴S_陰影=S_菱形ABCD-S_空白=8-π×1²=8-π．
因此，該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率P=

S陰影

S菱形ABCD

=

8-π

8

=1-

π

8

．
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出菱形ABCD，求在菱形內(nèi)部取點(diǎn)，使該點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率．著重考查了菱形的面積公式、圓的面積公式和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．