Question

14．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）證明：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$；
（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrowc6flg5q$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrowe74qgyl$，試求函數(shù)關系式k=f（t）．

Answer 1

分析 （1）計算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0即可得出結論；
（2）令$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrowmulrlam$=0即可得出k=f（t）．

解答 （1）證明∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$-1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．
（2）解：∵$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrowhsk8c6n$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowmia8sop$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow1taubr2$=[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow$]•（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）
=-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+t（t²-3）$\overrightarrow$²+[t-k（t²-3）]$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0．
又$\overrightarrow{a}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=4，$\overrightarrow$²=|$\overrightarrow$|²=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴-4k+t³-3t=0，
∴k=f（t）=$\frac{{t}^{3}-3t}{4}$（t≠0）．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量垂直與數(shù)量積的關系，屬于中檔題．