Question

14、關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁹有下列命題：
①該二項(xiàng)式中非常數(shù)項(xiàng)的所有各項(xiàng)系數(shù)的和為1．
②該二項(xiàng)式展開式的第5項(xiàng)是-C₂₀₀₉⁵x²⁰⁰⁴．
③該二項(xiàng)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1005項(xiàng)．
④當(dāng)x=2009時(shí)，（x-1）²⁰⁰⁹除以2009的余數(shù)為2008．
其中正確命題的序號(hào)是

①③④

．（把你認(rèn)為正確的都填上）

Answer 1

分析：利用賦值求出各項(xiàng)系數(shù)和，判斷出命題①正確；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第5項(xiàng)，判斷出命題②錯(cuò)誤；據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，判斷出命題③正確；利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開，判斷出命題④正確．

解答：解：此二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為0，其常數(shù)項(xiàng)為-1，故①正確；
其第5項(xiàng)T₅=C₂₀₀₉⁴x^2009-4•（-1）⁴=C₂₀₀₉⁴x²⁰⁰⁵，故②錯(cuò)；
該二項(xiàng)展開式共有2010項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)為正、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，
由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知第1005項(xiàng)與1006項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，故③正確；
（x-1）²⁰⁰⁹=（x²⁰⁰⁹-C₂₀₀₉¹x²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²x²⁰⁰⁷-+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸x）-1=（x²⁰⁰⁸-C₂₀₀₉¹x²⁰⁰⁷+C₂₀₀₉²x²⁰⁰⁶-+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸-1）x+x-1．當(dāng)x=2009時(shí)，被2009除的余數(shù)為2009-1=2008．故④正確．
故答案為①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查求展開式的系數(shù)和的方法是賦值法；考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決展開式的特定項(xiàng)問題；考查展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；考查二項(xiàng)式定理．