Question

函數(shù)f（x）=

x

-cosx在[0，+∞）內(nèi) （　�。�

• A、沒有零點(diǎn)
• B、有且僅有一個(gè)零點(diǎn)
• C、有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
• D、有無窮多個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析：根據(jù)余弦函數(shù)的最大值為1，可知函數(shù)在[π，+∞）上為正值，在此區(qū)間上函數(shù)沒有零點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)在區(qū)間[0，π）上的零點(diǎn)的求解，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可．

解答：解：f′（x）=

1

2 x

+sinx
①當(dāng)x∈[0．π）時(shí)，

1

2 x

＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0
∴函數(shù)在[0，π）上為單調(diào)增
取x=

π

6

，得f(

π

6

)=

π 6

-cos

π

6

＜0，而f(

π

2

)=

π 2

＞0
可得函數(shù)在區(qū)間（0，π）有唯一零點(diǎn)
②當(dāng)x≥π時(shí)，

x

≥

π

＞1且cosx≤1
故函數(shù)在區(qū)間[π，+∞）上恒為正值，沒有零點(diǎn)
綜上所述，函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上有唯一零點(diǎn)

點(diǎn)評：在[0，+∞）內(nèi)看函數(shù)的單調(diào)性不太容易，因此將所給區(qū)間分為兩段來解決是本題的關(guān)鍵所在．