Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，O為坐標原點，點P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在橢圓上，連接PF₁交y軸于點Q，點Q滿足$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$．直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與橢圓C有兩個交點A，B．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知點M（$\frac{5}{4}$，0），若直線l過橢圓C的右焦點F₂，證明：$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值；
（Ⅲ）若直線l過點（0，2），設N為橢圓C上一點，且滿足$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{ON}$，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=1，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²-c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程，代入橢圓方程，由韋達定理定理及向量數量積的坐標運算，即可求證$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值；
（Ⅲ）分類討論，設直線AB的方程，代入橢圓方程，由△＞0，求得k²＞$\frac{3}{2}$，由韋達定理，向量數量積的坐標運算，即可求得4=$\frac{{λ}^{2}}{4}$（1+2k²），即可求得實數λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$，則Q為PF₁的中點，則PF₁⊥F₁F₂，
則c=1，$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²-c²，
解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；

（Ⅱ）證明：由題意可知：設直線l的方程y=k（x-1），k≠1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
由$\overrightarrow{MA}$=（x₁-$\frac{5}{4}$，y₁），$\overrightarrow{MB}$=（x₂-$\frac{5}{4}$，y₂），
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁-$\frac{5}{4}$，y₁）（x₂-$\frac{5}{4}$，y₂）=（1+k²）x₁x₂-（k²+$\frac{5}{4}$）（x₁+x₂）+$\frac{25}{16}$+k²，
=（1+k²）×$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-（k²+$\frac{5}{4}$）×$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{25}{16}$+k²，
=$\frac{-2（1+2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$$\frac{25}{16}$+$\frac{25}{16}$，
=-$\frac{7}{16}$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$為定值，定值為-$\frac{7}{16}$；
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）．
當λ=0時，由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，A與B關于原點對稱，存在Q滿足題意，
∴λ=0成立；
當λ≠0時，聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由△=（8k）²-4×6（1+2k²）＞0，解得k²＞$\frac{3}{2}$，…（*），
∴x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{ON}$，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（λx₀，λy₀），可得x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{1}{λ}（{x}_{1}+{x}_{2}）=-\frac{8k}{λ（1+2{k}^{2}）}}\\{{y}_{0}=\frac{1}{λ}（{y}_{1}+{y}_{2}）=\frac{4}{λ（1+2{k}^{2}）}}\end{array}\right.$，由Q在橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$上，
代入，整理得4=$\frac{{λ}^{2}}{4}$（1+2k²），
代入（*）式，得λ²＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．
綜上可知：λ∈（-2，2）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．