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【題目】已知函數.

(Ⅰ)求函數的單調區(qū)間；

(Ⅱ)求證：當時，.

【答案】(1)f(x)的單調增區(qū)間為(1，＋∞), 單調減區(qū)間為(0，1)；(2)見解析.

【解析】

(Ⅰ)明確定義域，求出導函數，解不等式即可得到函數的單調區(qū)間；

(Ⅱ)作差構造新函數，研究函數的最值即可.

(1)依題意知函數的定義域為{x|x>0}，

∵f′(x)＝2x-2=，

由f′(x)>0， 得x>1; 由f′(x)<0， 得0<x<1

∴f(x)的單調增區(qū)間為(1，＋∞), 單調減區(qū)間為(0，1)．

(2)設g(x)＝f（x）-3x+1=x2－2lnx-3x+4，

∴g′(x)＝2x-2--3=，

∵當x>2時，g′(x)>0，

∴g(x)在(2，＋∞)上為增函數，

∴g(x)>g(2)＝4-2ln2-6+4>0，

∴當x>2時， x2-2lnx>3x-4,

即當x>2時..

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，判斷是否為的極值點，并說明理由；

（2）記.若函數存在極大值，證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）在一個選拔項目中，每個選手都需要進行4輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰。已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響。

（Ⅰ）求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；

（Ⅱ）求該選手至多進入第三輪考核的概率；

（Ⅲ）該選手在選拔過程中回答過的問題個數記為，求隨機變量的分布列和期望。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

若函數在內有且只有一個零點，求此時函數的單調區(qū)間；

當時，若函數在上的最大值和最小值的和為1，求實數a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數且）.

(1)判斷函數在上的單調性，并證明你的結論；

(2)當時，若不等式對于恒成立，求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求在處的切線方程；

（Ⅱ）討論函數的單調性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（14分）已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數的底數）．

（I）求實數b的值；

（II）求函數f（x）的單調區(qū)間；

（III）當a=1時，是否同時存在實數m和M（m＜M），使得對每一個t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點？若存在，求出最小的實數m和最大的實數M；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中為常數，為自然對數的底數．

（1）當時，求的最大值；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面平面，點為上一點．

（1）若平面，求證：點為中點；

（2）求證：平面平面．

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