Question

【題目】已知函數(shù)．

若函數(shù)在內有且只有一個零點，求此時函數(shù)的單調區(qū)間；

當時，若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

求出函數(shù)的導數(shù)，得到極值點，當時，當時，判斷導函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的極值結合函數(shù)的零點推出函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為；當時，函數(shù)有兩個極值點，推出，.若，由可得的值；若，由可得，不符合題意舍去，通過若；若，轉化求解即得到實數(shù)的值．

，

由，得到，，

當時，在區(qū)間上恒成立，

即函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，

又因為函數(shù)的圖象過點，即，

所以函數(shù)在內沒有零點，不合題意，

當時，由得，即函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，

由得，即函數(shù)在區(qū)間在上單調遞減，

且過點，要使函數(shù)在內有且只有一個零點，則須，

即，解得，

綜上可得函數(shù)在內有且只有一個零點時，

此時函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為

當時，函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減，

此時函數(shù)有兩個極值點，極大值為，極小值為，

且，，，

若，即，也即時，此時，

又，

由可得，即，符合題意

若，即，也即時，

此時，，

由可得，即，不符合題意舍去，

又

，

若，即，也即時，此時，

由可得，即，不符合題意舍去

若，即，也即時，此時，

由可得，即，不符合題意舍去，

綜上所述可知所求實數(shù)a的值為