【題目】已知函數(shù).
若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求此時(shí)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上的最大值和最小值的和為1,求實(shí)數(shù)a的值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),得到函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的極值結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)推出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),推出,.若,由可得的值;若,由可得,不符合題意舍去,通過若;若,轉(zhuǎn)化求解即得到實(shí)數(shù)的值.
,
由,得到,,
當(dāng)時(shí),在區(qū)間上恒成立,
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn),即,
所以函數(shù)在內(nèi)沒有零點(diǎn),不合題意,
當(dāng)時(shí),由得,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
由得,即函數(shù)在區(qū)間在上單調(diào)遞減,
且過點(diǎn),要使函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則須,
即,解得,
綜上可得函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),
此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng)時(shí),函數(shù)在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),極大值為,極小值為,
且,,,
若,即,也即時(shí),此時(shí),
又,
由可得,即,符合題意
若,即,也即時(shí),
此時(shí),,
由可得,即,不符合題意舍去,
又
,
若,即,也即時(shí),此時(shí),
由可得,即,不符合題意舍去
若,即,也即時(shí),此時(shí),
由可得,即,不符合題意舍去,
綜上所述可知所求實(shí)數(shù)a的值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)判斷正確的是______(寫出所有正確判斷的序號(hào).)
①函數(shù)是奇函數(shù),但不是偶函數(shù);
②函數(shù)與函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù);
③已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為,則的值為;
④設(shè)函數(shù),若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的解,且,則的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線:,圓:.
(1)求的取值范圍,并求出圓心坐標(biāo);
(2)若圓的半徑為1,過點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程;
(3)有一動(dòng)圓的半徑為1,圓心在上,若動(dòng)圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱
B.在區(qū)間上,函數(shù)是減函數(shù)
C.函數(shù)的最小值為
D.在區(qū)間上,函數(shù)是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在處的切線與直線平行,求實(shí)數(shù)的值;
(2)試討論函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若時(shí),函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且曲線與在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線相同.
(1)求的最小值;
(2)若時(shí),恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分為5組:分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(I)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率;
(II)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
25周歲以上組 25周歲以下組
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),2a2﹣5a1=3,a3a7=9a42;
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=anlog3an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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