Question

4．已知曲線C₁：（x-1）²+y²=1與曲線C₂：y（y-mx-m）=0，則曲線C₂恒過定點（-1，0）；若曲線C₁與曲線C₂有4個不同的交點，則實數m的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）
∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$） 

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程，求出圓心和半徑，直線過定點（-1，0），當直線y-mx-m=0與圓相切時，根據圓心到直線的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，求出m的值，數形結合求出實數m的取值范圍．

解答 解：由題意可知曲線C₁：x²+y²-2x=0表示一個圓，化為標準方程得：
（x-1）²+y²=1，所以圓心坐標為（1，0），半徑r=1；
C₂：y（y-mx-m）=0表示兩條直線y=0和y-mx-m=0，
由直線y-mx-m=0可知：此直線過定點（-1，0），
在平面直角坐標系中畫出圖象如圖所示：
當直線y-mx-m=0與圓相切時，
圓心到直線的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，
化簡得：m²=$\frac{1}{3}$，m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則直線y-mx-m=0與圓相交時，m∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）
∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故答案為（-1，0），（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．