Question

給出下列四個命題；其中所有正確命題的序號是

①，②，③（多寫少寫均作0分）

①函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0；
②函數y=2^-x（x＞0）的反函數是y=-log₂x（0＜x＜1）；
③若函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a≤-4或a≥0；
④若函數y=f（x-1）是偶函數，則函數y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱．

Answer 1

分析：根奇函數的定義得到①正確，根據反函數的做法和定義域與值域得到②正確，根據若函數f（x）=lg（x²+ax-a）的域是R，則等價于真數可以取到所有的正數，得到真數對應的二次函數的判別式大于0，，得到a≤-4或a≥0，故③正確．根據函數圖象的平移得到④不正確．

解答：解：當c=0時，函數f（x）=x|x|+bx+c變?yōu)閒（x）=x|x|+bx得到奇函數
當函數是一個奇函數時，根據f（-x）=-f（x），得到c=0，
∴函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0，故①正確，
函數y=2^-x（x＞0）的反函數是y=-log₂x（0＜x＜1），故②正確，
若函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則等價于真數可以取到所有的正數，
得到真數對應的二次函數的判別式大于0，，得到a≤-4或a≥0，故③正確．
當函數y=f（x-1）是偶函數，它的對稱軸是y軸，
則函數y=f（x）的圖象向左平移一個單位，關于直線x=-1對稱，故④不正確，
綜上可知①②③正確，
故答案為：①②③

點評：本題考查命題真假的判斷，本題解題的關鍵是作對③，對數函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則等價于真數可以取到所有的正數，這一點不好理解．是一個易錯題．